Tip 1: Sådan finder du gradienten af en funktion
Tip 1: Sådan finder du gradienten af en funktion
gradient funktioner Er en vektor mængde, hvis bestemmelse er forbundet med bestemmelsen af de partielle derivater af funktionen. Hældningsretningen angiver banen for den stejleste vækst af funktionen fra et punkt af skalærfeltet til det andet.
instruktion
1
At løse problemet på gradienten af en funktionMetoden til differentiel beregning anvendes, nemlig bestemmelsen af partielle derivater af den første ordre i tre variabler. Her antages det, at funktionen selv og alle dens partielle derivater har kontinuiteten i domænet som definition af funktionen.
2
En gradient er en vektor hvis retningIndikerer retningen for den maksimalt hurtige stigning i funktionen F. For dette vælges to punkter M0 og M1 på grafen, som er enderne af vektoren. Graden af gradienten er lig med stigningen i funktionen fra punkt M0 til punkt M1.
3
Funktionen er differentierbar på alle punkter i dettevektor, derfor er alle dens partielle derivater fremskrivninger af vektoren på koordinatakserne. Derefter gradienten formel er som følger: Grad = (∂F / ∂h) • i + (∂F / ∂y) • j + (∂F / ∂z) • k, hvor i, j, k - koordinaterne for enhedsvektor. Med andre ord gradienten af - en vektor, hvis koordinater er dens partielt afledte grad F = (∂F / ∂h, ∂F / ∂y, ∂F / ∂z).
4
Eksempel 1. Lad funktionen F = sin (x • z²) / y blive givet. Det er nødvendigt at finde sin gradient ved punktet (π / 6, 1/4, 1).
5
Løsning: Definer de partielle derivater med hensyn til hver variabel: F'_x = 1 / y • cos (x • z²) • z²; F'_y = sin (x • z²) • (-1) • 1 / (y2); F ' _z = 1 / y • cos (x • z²) • 2 • x • z.
6
Udskift de kendte værdier af punktets koordinater: F'_x = 4 • cos (π / 6) = 2 • √3; F'_y = sin (π / 6) • (-1) • 16 = -8; F'_z = 4 • cos (π / 6) • 2 • π / 6 = 2 • π / √3.
7
Anvend formlen for gradienten af funktionen: stor F = 2 • √3 • i - 8 • j + 2 • π / √3 • k.
8
Eksempel 2. Find koordinaterne for gradienten af funktionen F = y • arсtg (z / x) ved punktet (1, 2, 1).
9
Løsningen.(Z / x) + y • (arctg (z / x)) x = y • 1 / (1 + (z / x) 2) • (-z / x²) = -y • z / (x2 • (1 + (z / x) ²)) = -1; F'_y = 1 • arctg (z / x) = arctg 1 = π / 4; F'_z = 0 • arcsg (1 / x) + y • (arctg (z / x)) z = y • 1 / (1 + (z / x) 2) • 1 / x = y / )) = 1.grаd = (-1, π / 4, 1).
Tip 2: Sådan finder du gradienten af et skalarfelt
Graden af et skalært felt er en vektormængde. For at finde det skal vi derfor bestemme alle komponenterne i den tilsvarende vektor baseret på viden om fordelingen af det skalære felt.
instruktion
1
Læs i lærebogen om højere matematik deter gradienten af det skalære felt. Som kendt er denne vektormængde en retning kendetegnet ved den maksimale faldhastighed for den skalære funktion. Denne følelse af en given vektormængde er begrundet i et udtryk for bestemmelse af dets komponenter.
2
Husk at en vektor er bestemt af mængdernedens komponent. Vektorkomponenterne er faktisk fremspring af denne vektor på en eller anden koordinatakse. Således, hvis et tredimensionelt rum betragtes, skal vektoren have tre komponenter.
3
Skriv ned, hvordan vektorens komponenter bestemmes,hvilket er gradienten af et felt. Hvert af koordinaterne for en sådan vektor er lig med derivatet af det skalære potentiale med hensyn til en variabel, hvis koordinat beregnes. Det vil sige, at hvis det er nødvendigt at beregne "Ix" -komponenten i feltgradientvektoren, er det nødvendigt at differentiere den skalære funktion i variablen "x". Bemærk, at derivatet skal være privat. Dette betyder, at de resterende variabler, der ikke deltager i det, skal differentieres, da de skal betragtes som konstanter.
4
Skriv et udtryk for det skalære felt. Som du ved, indebærer dette udtryk kun en skalarfunktion af flere variabler, som også er skalare mængder. Antallet af variabler af en skalarfunktion er begrænset af rummets dimension.
5
Differentier den separate skalære funktion medhver variabel. Som følge heraf får du tre nye funktioner. Skriv hver funktion i udtrykket for gradientvektoren i det skalære felt. Hver af de opnåede funktioner er faktisk en koefficient for enhedsvektoren af en given koordinat. Den endelige gradientvektor skal således ligne et polynom med koefficienter i form af derivative funktioner.
Tip 3: Sådan finder du gradienten
Når man overvejer problemer med begrebet gradient, opfattes funktionerne som skalare felter. Derfor er det nødvendigt at indføre den relevante notation.
Du skal bruge
- - Boom;
- - håndtaget
instruktion
1
Lad funktionen gives af tre argumenter u = f (x,y, z). Det partielle derivat af en funktion, for eksempel med hensyn til x, defineres som derivatet med hensyn til dette argument opnået med de resterende argumenter. For resten af argumenterne er ens. Notationen af det partielle derivat er skrevet i formularen: df / dx = u'x ...
2
Den samlede differential vil være lig med du = (df / dx) dx +(df / dy) dy + (df / dz) dz. Delvise derivater kan forstås som derivater i retningen af koordinatakserne. Derfor opstår spørgsmålet om at finde derivatet med hensyn til retningen af den givne vektor s ved punktet M (x, y, z) (glem ikke at retningen s angiver enhedsvektor-enhedsvektoren s ^ o). I dette tilfælde er vektorforskellen mellem argumenterne {dx, dy, dz} = {dscos (alpha), dsos (beta), dsos (gamma)}.
3
Under hensyntagen til formen af den samlede differentierede du,at konkludere at derivatet med hensyn til retningen s ved punktet M er lig med: (dy / ds) | M = ((df / dx) | M) cos (alfa) + ((df / dy) | M) cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gamma). Hvis s = s (sx, sy, sz) beregnes retnings cosinuserne {cos (alpha), cos (beta), cos (gamma)} 1a).
4
Definitionen af et derivat med hensyn til en retning, forudsatpunkt M i variablen kan omskrives til skalarproduktet: (DU / dS) = ({df / dx, df / dy, df / dz}, {cos (alfa), cos (beta) cos (y)}) = (grad u, s ^ o). Dette udtryk vil være gyldigt for et skalarfelt. Hvis vi betragter en funktion-tion, den gradf - en vektor med koordinater sammenfaldende delvis f (x, y, z) .gradf (x, y, z) = {{df / dx, df / dy, df / = dz}) = (df / dx) i + (df / dy) j + (df / dz) k. Her, (i, j, k) - vektorer af den rektangulære koordinatakserne i et kartesisk koordinatsystem.
5
Hvis du bruger differentieretvektor-Hamiltonian-operatør, så kan gradf skrives som multiplikationen af denne operatørvektor af scalar f (se figur 1b). Set ud fra forbindelsesgraden c med hensyn til retningen er ligheden (gradf, s ^ o) = 0 mulig, hvis disse vektorer er ortogonale. Derfor defineres gradf ofte som retningen for den hurtigste ændring i det skalære felt. Og med hensyn til differentierede operationer (gradf er en af dem) gentager egenskaberne af gradf præcis egenskaberne for differentiering af funktioner. Især hvis f = uv, så gradf = (vgradu + u gradv).
Tip 4: Sådan tegner du en gradient
gradient Det er et værktøj i grafiske redaktører, der udfører fyldningen af omridset med en jævn overgang fra en farve til en anden. gradient kan give konturen en volumen effekt, simulerebelysning, blænding af lys på objektets overflade eller effekten af solnedgang i baggrunden af fotografiet. Dette værktøj er meget udbredt, så det er meget vigtigt at lære at bruge det til at behandle fotografier eller skabe illustrationer.
Du skal bruge
- Computer, grafisk editor Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net eller andet.
instruktion
1
Åbn et billede i programmet eller opret en ny. Opret en sti eller vælg det ønskede område i billedet.
2
Tænd forgradientværktøjet på værktøjslinjenredskaber i grafisk editor. Placer musemarkøren på punktet inden for det valgte område eller omrids, hvor den første farve af gradienten begynder. Tryk og hold venstre museknap. Flyt markøren til det punkt, hvor gradienten skal gå til den sidste farve. Slip venstre museknap. Den valgte sti fylder fyldningen med en gradient.
3
gradientDu kan angive gennemsigtighed, farver og deresforholdet ved et bestemt punkt af hældning. For at gøre dette skal du åbne vinduet for at redigere graden. For at åbne redigeringsvinduet i Photoshop - klik på gradientprøven i panelet "Indstillinger".
4
I det åbne vindue, i form af eksempler, vises tilgængelige muligheder for gradientfyldning. For at redigere en af mulighederne skal du vælge den ved at klikke på musen.
5
En prøve vises nederst i vinduetgradient i form af en bred skala, hvorpå skyderne er placeret. Gliderne angiver de punkter, hvor gradienten skal have de specificerede egenskaber, og i intervallet mellem gliderne passer farven ensartet fra det andet punkt, der er angivet ved første punkt.
6
Glidere, der er placeret øverstVægte indstiller gennemsigtigheden af gradienten. For at ændre gennemsigtigheden skal du klikke på den ønskede skyder. Under skalaen vises et felt, hvor du indtaster den ønskede grad af gennemsigtighed i procent.
7
Skyderne i bunden af skalaen angiver gradientfarver. Ved at klikke på en af dem, kan du vælge den farve du ønsker.
8
gradient kan have flere overgangsfarver. For at angive en anden farve - klik på ledig plads nederst på skalaen. Der vil være en anden skyder på den. Angiv den ønskede farve til den. Skalaen vil vise en gradientprøve med et yderligere punkt. Du kan flytte skyderne ved at holde dem med venstre museknap for at opnå den ønskede kombination.
9
gradientDer er flere typer, der kan giveform flade konturer. For eksempel for at give en cirkel form af en kugle, anvendes en radial gradient, og for at give en kegleform er den konisk. For at give overfladen illusionen af konvexitet, kan du bruge en spejlgradient, og en diamantformet gradient kan bruges til at skabe højdepunkter.
